《张朝阳的物理课》带你理解热力学基本定律

2 月 25 日 19 时,《张朝阳的物理课》第三十一期开播。

搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间,他从热力学第零定律出发,引出温度的概念,推导内能与温度的关系。接着讲解热力学第一定律,结合理想气体状态方程,推导绝热过程中压强与体积的关系。还介绍了理想气体卡诺循环过程,在压强-体积相图上绘制各段曲线并详细讲解。最后,演示了基于以上内容的应用实例,通过理想气体绝热方程和状态方程计算得到气体中的声速。

热力学第零定律:热平衡的传递性

张朝阳从热力学第零定律说起。他介绍,将两个物体接触,它们可以有能量的交换,原来各自的状态可能发生变化。经过足够长的时间,不再有净的能量交换,达到新的稳定状态,也就是说,这两个物体处于热平衡了。现在考虑三个物体 A,B,C,若物体 A 与 B 处于热平衡,且物体 A 与 C 也处于热平衡,实验表明,物体 B 与 C 也必然处于热平衡。这种“热平衡的传递性
”就是热力学第零定律。

他说,“互为热平衡的物体必有一共同的物理性质,这个性质保证它们在热接触时达到热平衡,可以把表征物体这一性质的量称做温度。这样处于同一热平衡状态下的物体具有相同的温度,不同的温度代表处于不同的热平衡态。”

▲张朝阳讲解热力学第零定律

“不仅如此,实验还发现,物体处在不同温度时,其体积会发生变化,这样就可以利用体积这一可直观测量的状态参量来表征温度,这就是水银温度计的原理。”他详细解释说,人们把水的冰点定义为 0 度,水的沸点定义为 100 度,再利用物体热胀冷缩的性质,将 0 度与 100 度的体积变化分为 100 等分,定义体积每增加一份就增加 1 度,从而完成了摄氏温度的数值定义。当然,这只是一种基于经验的近似的处理方法。

“有了温度的值,就可以定量地研究和描述物体各个参量与温度的关系。”张朝阳边写边说,实验上发现,在固定的压强下,理想气体的体积与温度呈线性关系。虽然气体不同时,对应的线性系数也不同,但若将不同气体的体积-温度关系画在一张图上,这些直线都会与 t 轴交于同一点,此时的 t 值为-273.15 摄氏度, 称为绝对零度。

若以绝对零度代替水的冰点作为温度的起始零点,而温标间距保持不变,则相应的温度称为开尔文温度,用 T 来表示,单位缩写为 K。理想气体的体积仍然与开尔文温度 T 成线性关系,但与摄氏温度不同的是,当开尔文温度 T=0K 时,不同理想气体的体积也都取为 0 了。实验还测定了固定体积时,气体压强 p 与温度 T 之间的线性关系,最终得到理想气体的状态方程是 pV=NkT,其中 N 为理想气体粒子数,k 为玻尔兹曼常数。另外压强 p 还可以由气体粒子撞击容器壁的微观图像描写:

“将理想气体的压强表达式与微观图像的压强表达式结合起来,可以得到气体粒子平均动能与温度之间的关系。”他得出第一个结论。

“从微观上讲,温度表征了气体粒子运动的剧烈程度。温度越高,微观粒子运动越剧烈,气体越热。”他还告诉网友,根据能量均分定理,以上公式表明每个自由度上平均分配的能量是 1/2 kT,假设在某温度下理想气体粒子可以激发的自由度总共为 i,那么理想气体的总内能为 U=i / 2 NkT=1/(γ-1) NkT,其中 γ 是新引入的参量,其意义会在后面的绝热膨胀中体现出来。

热力学第一定律:能量守恒与转换

接下来,张朝阳讲解热力学第一定律。他指出,系统内能的变化,包含两个方面。一方面,我们可以直观地看到,系统体积变化导致功的变化;另一方面,高温物体与低温物体接触时温度会下降,系统内能也会减少,我们把这种非功方式传递的能量叫做热量,用 Q 表示。系统内能的增加量,等于其吸收的热量đQ 与外界对其做的功đW 的总和,这就是热力学第一定律。

他特别说明,“đ这个符号表示热传递或做功是与具体过程有关的,并不是只与系统的状态有关。而内能 U 只与系统的状态有关,是状态函数,与系统的具体变化过程无关,仍然用 dU 表示。”

▲张朝阳讲解热力学第一定律

随后,张朝阳利用热力学第一定律和理想气体状态方程,研究绝热过程中状态参量的关系。他介绍说,绝热过程是指系统变化时与外界无热量交换,也就是đQ=0,那么内能的增加就是外界对系统做的功,也等于负的系统对外界做的功。压强为 p,系统表面积为 A,相应压力为 pA,此面积向外移动 dl 的距离,那么由热力学第一定律可知,绝热过程的内能变化为 dU=đW=-pAdl=-pdV,其中 V 是系统的体积,dV=Adl 是系统体积的变化。

而由上一小节可知理想气体内能与温度的关系 U=1/(γ-1) NkT,结合理想气体状态方程 pV=NkT,就可以得到内能与体积和压强的关系 U=1/(γ-1) pV。将它带回绝热过程的热力学第一定律公式,可得 1/(γ-1) d (pV)=-pdV,解此微分方程,即可得到理想气体绝热方程:

其中 C 为常数,可由该过程中任意状态下的压强与体积确定。以上绝热方程显示了绝热过程中压强 p 与体积 V 的关系,其中 γ 大于零,所以当体积 V 增大时,压强减小。

卡诺循环与相图:高温低温两热源,等温绝热围成圈

用来描述系统状态的参量一般是压强 p,体积 V 和温度 T,确定了其中 2 个参量便可以由系统状态方程得到余下的参量,也就是说,实际只需 2 个参量就可以确定系统的状态。任选其中 2 个参量,分别作为横、纵坐标组成相图,则相图上的一个点代表系统的一个状态,而一条曲线可以描述系统的变化过程。相图可以清晰地展现卡诺循环过程。

张朝阳举了个有趣的例子来描述卡诺循环。先取温度为 T1 的理想气体,放到带有活塞的气缸里,将气缸放入温度同样为 T1 的大湖里,把理想气体从深水区缓慢上浮到浅水区,理想气体压强减小体积膨胀,但因为一直泡在大湖里,其温度恒定为 T1,这就是一个等温膨胀过程。由理想气体状态方程 pV=NkT,可以在相图中画出对应的变化曲线,标记为 T1。

接着把理想气体拿出湖,并且不跟外界任何其他物体接触,而只用一个很尖的东西去抵住活塞提供压力,这样导热就非常差,然后缓慢减小压强使气体继续膨胀,直到温度下降为 T2 为止。这个过程因为气体与外界没有热交换,所以是绝热膨胀过程,根据刚刚推导出来的绝热公式,γ 大于 1,压强会随体积的增大而下降,且比 T1 恒温膨胀时下降得更快。反映到相图上,绝热膨胀过程就是右边那条连接等温线 T1 与 T2 的曲线。接着把温度为 T2 的理想气体放到另一个温度为 T2 的湖里,并往深处走使得压强缓慢增大,对气体进行温度为 T2 的等温压缩,对应图中 T2 的等温曲线。

他继续推导说,最后一步,把气体取出湖进行绝热压缩,回到最初状态,这就实现一个完整的循环,该过程称为卡诺循环。对应于相图里加粗的闭合曲线。由外界对理想气体的做功公式đW=-pdV,可知闭合圈中的面积就是这个过程中理想气体对外做的总的正功。由热力学第二定律,还可以知道理想气体总体吸收了外界的热量。

▲张朝阳介绍卡诺循环及其相图

作为热力学的一个应用实例,张朝阳基于绝热公式,再次推导了声速,并强调用等温过程是错误的且不能与实验符合,因为声波在空气中传播时,空气振动得很快,气体来不及进行充分的热交换,所以须按绝热过程处理,才更与实际接近,从而计算得到正确的声速。